Stochastyczne równania różniczkowe względem procesów o skończonej p-wariacji

Abstract

W rozprawie badany jest problem istnienia, jednoznaczności oraz aproksymacji rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych z odbijającymi barierami U i L postaci X(t)=X(0)+∫f(s,X(s-))dB(s)+∫g(s,X(s-))dA(s)+K(t) (1) oraz X(t)=X(0)+∫f(s,X(s-))dZ(s)+∫g(s,X(s-))dA(s)+K(t) (2) gdzie A jest procesem posiadającym trajektorie o lokalnie skończonej p-wariacji dla 1<p<2, a B, Z są odpowiednio procesem posiadającym trajektorie o lokalnie skończonej wariacji i semimartyngałem. Rozwiązaniem równania (1) (2) jest para procesów (X,K) takich, że L(t)<=X(t)<=U(t), a K kompensuje odbicia od barier U i L. Równanie (1) jest szczególnym przypadkiem równania (2). W pracy równania te badamy jednak oddzielnie, gdyż wymagają one różnych definicji rozwiązań i różnych założeń na współczynniki. W dysertacji szczególna uwaga została zwrócona na przypadek procesu YH=∫σ(s)dBH(s), gdzie σ jest funkcją deterministyczną, a BH jest ułamkowym ruchem Browna. Zaproponowana została nowa metoda aproksymacji procesu YH oraz rozwiązań równań względem YH. Badane jest również możliwe zastosowanie powyższych w wyników w matematyce finansowej. W szczególności rozważane jest zagadnienie aktuarialnej wyceny opcji na rynkach finansowych modelowanych za pomocą procesu YH.