Rozwiązania okresowe parabolicznych równań ewolucyjnych na R^N - metoda przesunięcia wzdłuż trajektorii

Abstract

W rozprawie badane jest istnienie rozwiązań okresowych nieautonomicznych parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych rozważanych na R^N. W zależności od jądra linearyzacji prawej strony równania uśrednionego, w pracy rozważane są dwie sytuacje: kiedy jądro to jest trywialne (tzw. przypadek nierezonansowy) oraz kiedy trywialne nie jest (mówimy wówczas, że w równaniu występuje rezonans). W obu przypadkach użyto techniki przesunięcia wzdłuż trajektorii, metod uśredniania oraz niezmienników homotopijnych takich jak indeks punktów stałych oraz stopień topologiczny do uzyskania kryteriów stwierdzających istnienie rozwiązań okresowych, które stanowią główny wynik pracy. Przesuwając punkt ciężkości w problemie periodycznym na kwestię istnienia punktów stałych operatora przesunięcia wzdłuż trajektorii, w rozprawie napotyka się na dwie główne trudności. Pierwszą jest brak zwartości operatora przesunięcia wzdłuż trajektorii (jako konsekwencja braku ograniczoności dziedziny, na której rozważane jest równanie). To zmusza do poszukiwania adekwatnego niezmiennika homotopijnego, jakim okazuje się być indeks punktów stałych dla klasy odwzorowań ostatecznie zwartych. Drugą trudnością jest wyznaczenie indeksu punktów stałych operatora przesunięcia wzdłuż trajektorii. Narzędziem użytym w rozprawie jest nieskończeniewymiarowa wersja zasady uśredniania.