Silnie nieokreślone układy równań eliptycznych i ich rozwiązania

Abstract

W rozprawie doktorskiej badane były pewne zagadnienia dotyczące równań i układów równań eliptycznych. Pierwszym rozważanym problemem było zagadnienie łamania symetrii rozwiązań w równaniu eliptycznym, to znaczy problem istnienia H-symetrycznych rozwiązań (które nie są G-symetryczne) równania -∆w=f(w)+h na G-symetrycznym zbiorze, przy czym funkcja h jest G-symetryczna, zaś H jest domkniętą podgrupą zwartej grupy Liego G. Ponadto opisane zostało uogólnienie tego problemu na odpowiedni niekooperatywny układ równań eliptycznych. W rozprawie te zagadnienia zostały przetłumaczone na problem badania bifurkacji nietrywialnych rozwiązań współzmienniczego operatora, będącego gradientem silnie nieokreślonego funkcjonału, określonego na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta. Do badania problemu bifurkacyjnego został zastosowany stopień silnie nieokreślonych funkcjonałów niezmienniczych, dzięki czemu sformułowane zostały warunki konieczne na istnienie rozwiązań problemu łamania symetrii w języku prawej strony równania (i odpowiedniego układu równań) oraz wartości własnych operatora Laplace'a. Co więcej, warunki te implikują istnienie globalnej bifurkacji, czyli spójnego zbioru rozwiązań problemu łamania symetrii.

W dalszej części rozprawy badane było zagadnienie nieograniczoności spójnych zbiorów słabych rozwiązań niekooperatywnych układów równań eliptycznych na sferze. W tej części zostało pokazane, że z prawie wszystkich punktów, które mogą być punktami bifurkacji, emanują spójne zbiory słabych rozwiązań rozważanego problemu. Co więcej, zostało pokazane, że każdy taki zbiór musi być nieograniczony. Ponadto zostały scharakteryzowane punkty globalnej bifurkacji, w których zachodzi zjawisko łamania symetrii, to znaczy pokazano, że z prawie każdego punktu bifurkacji, będącego zawsze rozwiązaniem radialnym, emanuje spójny zbiór rozwiązań nieradialnych.

W ostatniej części pracy były badane niekooperatywne układy równań eliptycznych określone na kuli geodezyjnej. Podobnie jak wcześniej, badane były spójne zbiory słabych rozwiązań oraz problem łamania symetrii. Pokazano, że w szczególnym przypadku, gdy kula geodezyjna jest górną półsferą, wszystkie zbiory słabych rozwiązań, bifurkujące z rodziny rozwiązań trywialnych, muszą być nieograniczone. Co więcej, w układzie określonym na półsferze zostały scharakteryzowane punkty globalnej bifurkacji, w których zachodzi zjawisko łamania symetrii. Ponadto w przypadku dowolnej kuli geodezyjnej zostały scharakteryzowane spójne zbiory słabych rozwiązań.